una nueva prueba ha desacreditado una conspiración que los matemáticos temían que pudiera rondar la recta numérica. Al hacerlo, les ha dado otro conjunto de herramientas para comprender los bloques de construcción fundamentales de la aritmética, los números primos.
En un artículo publicado en marzo pasado, Harald Helfgott de la Universidad de Göttingen en Alemania y Maksym Radziwiłł del Instituto de Tecnología de California presentaron una solución mejorada a una formulación particular de la conjetura de Chowla, una pregunta sobre las relaciones entre números enteros.
La conjetura predice que el hecho de que un número entero tenga un número par o impar de factores primos no influye en si el número anterior o siguiente también tiene un número par o impar de factores primos. Es decir, los números cercanos no se confabulan sobre algunas de sus propiedades aritméticas más básicas.
Esa pregunta aparentemente sencilla está entrelazada con algunas de las preguntas matemáticas más profundas sin resolver sobre los números primos. Demostrar la conjetura de Chowla es una "especie de calentamiento o trampolín" para responder a esos problemas más difíciles, dijo Terence Tao de la Universidad de California, Los Ángeles.
Y, sin embargo, durante décadas, ese calentamiento fue una tarea casi imposible en sí misma. Fue solo hace unos años que los matemáticos hicieron algún progreso, cuando Tao demostró una versión más fácil del problema llamada la conjetura logarítmica de Chowla. Pero si bien la técnica que usó fue anunciada como innovadora y emocionante, arrojó un resultado que no fue lo suficientemente preciso como para ayudar a avanzar más en problemas relacionados, incluidos los relacionados con los números primos. En su lugar, los matemáticos esperaban una prueba más sólida y de mayor aplicación.
Ahora, Helfgott y Radziwiłł han proporcionado precisamente eso. Su solución, que lleva las técnicas de la teoría de grafos directamente al corazón de la teoría de números, ha reavivado la esperanza de que la conjetura de Chowla cumpla su promesa y, en última instancia, lleve a los matemáticos a las ideas que necesitarán para enfrentar algunas de sus preguntas más difíciles de alcanzar.
Muchos de los problemas más importantes de la teoría de números surgen cuando los matemáticos piensan en cómo se relacionan la multiplicación y la suma en términos de números primos.
Los números primos en sí mismos se definen en términos de multiplicación: no son divisibles por ningún otro número que no sean ellos mismos y 1, y cuando se multiplican, forman el resto de los números enteros. Pero los problemas de los números primos que implican sumas han atormentado a los matemáticos durante siglos. Por ejemplo, la conjetura de los números primos gemelos afirma que hay un número infinito de números primos que difieren solo en 2 (como 11 y 13). La pregunta es desafiante porque vincula dos operaciones aritméticas que generalmente viven independientemente una de la otra.
“Es difícil porque estamos mezclando dos mundos”, dijo Oleksiy Klurman de la Universidad de Bristol.
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