Deja caer un hielo cubo en un vaso de agua. Probablemente puedas imaginar la forma en que comienza a derretirse. También sabe que no importa la forma que adopte, nunca lo verá fundirse en algo como un copo de nieve, compuesto por todas partes por bordes afilados y cúspides finas.
Los matemáticos modelan este proceso de fusión con ecuaciones. Las ecuaciones funcionan bien, pero han sido necesarios 130 años para demostrar que se ajustan a hechos obvios sobre la realidad. En un artículo publicado en marzo, Alessio Figalli y Joaquim Serra del Instituto Federal Suizo de Tecnología de Zurich y Xavier Ros-Oton de la Universidad de Barcelona han establecido que las ecuaciones realmente coinciden con la intuición. Los copos de nieve en el modelo pueden no ser imposibles, pero son extremadamente raros y completamente fugaces.
“Estos resultados abren una nueva perspectiva en el campo”, dijo Maria Colombo del Instituto Federal Suizo de Tecnología de Lausana. “Anteriormente, no había una comprensión tan profunda y precisa de este fenómeno”.
La cuestión de cómo se derrite el hielo en el agua se llama el problema de Stefan, llamado así por el físico Josef Stefan, quien lo planteó en 1889. Es el ejemplo más importante de un problema de «límites libres», donde los matemáticos consideran cómo un proceso como la difusión de calor hace que un límite se mueva. En este caso, el límite está entre el hielo y el agua.
Durante muchos años, los matemáticos han intentado comprender los complicados modelos de estos límites en evolución. Para avanzar, el nuevo trabajo se inspira en estudios previos sobre un tipo diferente de sistema físico: las películas de jabón. Se basa en ellos para demostrar que a lo largo del límite evolutivo entre el hielo y el agua, rara vez se forman puntos afilados como cúspides o bordes, e incluso cuando lo hacen, desaparecen inmediatamente.
Estos puntos afilados se denominan singularidades y resulta que son tan efímeros en los límites libres de las matemáticas como en el mundo físico.
Considere, nuevamente, un cubo de hielo en un vaso de agua. Las dos sustancias están hechas de las mismas moléculas de agua, pero el agua está en dos fases diferentes: sólida y líquida. Existe un límite donde se encuentran las dos fases. Pero a medida que el calor del agua se transfiere al hielo, el hielo se derrite y el límite se mueve. Finalmente, el hielo, y el límite junto con él, desaparecen.
La intuición podría decirnos que este límite de fusión siempre permanece suave. Después de todo, no se corta con los bordes afilados cuando saca un trozo de hielo de un vaso de agua. Pero con un poco de imaginación, es fácil concebir escenarios donde surgen puntos afilados.
Toma un trozo de hielo en forma de reloj de arena y sumérgelo. A medida que el hielo se derrite, la cintura del reloj de arena se vuelve más y más delgada hasta que el líquido se come por completo. En el momento en que esto sucede, lo que alguna vez fue una cintura suave se convierte en dos cúspides puntiagudas o singularidades.
“Este es uno de esos problemas que naturalmente presenta singularidades”, dijo Giuseppe Mingione de la Universidad de Parma. “Es la realidad física la que te dice eso”.
Josef Stefan formuló un par de ecuaciones que modelan la fusión del hielo.
Archivo de la Universidad de Viena Creador: R. Fenzl Firmante: 135.726
Sin embargo, la realidad también nos dice que las singularidades están controladas. Sabemos que las cúspides no deben durar mucho, porque el agua tibia las derretirá rápidamente. Quizás si comenzaras con un enorme bloque de hielo construido completamente con relojes de arena, se podría formar un copo de nieve. Pero todavía no duraría más de un instante.
En 1889, Stefan sometió el problema a un escrutinio matemático, explicando dos ecuaciones que describen la fusión del hielo. Uno describe la difusión de calor del agua tibia al hielo frío, lo que encoge el hielo y hace que la región del agua se expanda. Una segunda ecuación rastrea la interfaz cambiante entre el hielo y el agua a medida que avanza el proceso de fusión. (De hecho, las ecuaciones también pueden describir la situación en la que el hielo está tan frío que hace que el agua circundante se congele, pero en el presente trabajo, los investigadores ignoran esa posibilidad).
