Los números de Fibonacci escondidos en espacios extraños

06/11/2022

Los números de Fibonacci escondidos en espacios extraños

Hace catorce años, los matemáticos Dusa McDuff y Felix Schlenk se toparon con un jardín geométrico oculto que recién ahora está comenzando a florecer. La pareja estaba interesada en cierto tipo de forma oblonga, una que pudiera apretarse y plegarse de maneras muy particulares y meterse dentro de una bola. Se preguntaron: para una determinada forma, ¿qué tamaño debe tener la pelota?

A medida que sus resultados comenzaron a cristalizarse, al principio no notaron los llamativos patrones que surgían. Pero un colega que revisó su trabajo descubrió los famosos números de Fibonacci, una lista cuyas entradas han aparecido una y otra vez en la naturaleza ya lo largo de siglos de matemáticas. Están estrechamente relacionados, por ejemplo, con la proporción áurea exaltada, que se ha estudiado en el arte, la arquitectura y la naturaleza desde los antiguos griegos.

Los números de Fibonacci “siempre hacen felices a los matemáticos”, dijo Tara Holm, matemática de la Universidad de Cornell. Su aparición en el trabajo de McDuff y Schlenk, agregó, fue "algún indicio de que hay algo allí".

Su resultado histórico se publicó en 2012 en el Anales de Matemáticas, ampliamente considerada la mejor revista en el campo. Reveló la existencia de estructuras en forma de escalera con infinitos escalones. El tamaño de cada escalón en estas "escaleras infinitas" era una proporción de números de Fibonacci.

A medida que la escalera ascendía, los escalones se hacían cada vez más pequeños y la parte superior de la escalera se aplastaba contra la proporción áurea. Ni la proporción áurea ni los números de Fibonacci tienen una relación aparente con el problema de encajar una forma dentro de una bola. Fue extraño encontrar estos números al acecho dentro del trabajo de McDuff y Schlenk.

Luego, a principios de este año, McDuff descubrió otra pista de este misterio. Ella y varios otros revelaron no solo infinitas más escaleras, sino también intrincadas estructuras fractales. Sus resultados "no son algo que ni remotamente esperara ver surgir naturalmente en este tipo de problema", dijo Michael Usher, profesor de la Universidad de Georgia.

El trabajo ha revelado patrones ocultos en áreas aparentemente no relacionadas de las matemáticas, una señal confiable de que algo importante está en marcha.

La forma del movimiento

Estos problemas no tienen lugar en el mundo familiar de la geometría euclidiana, donde los objetos mantienen su forma. En cambio, operan según las extrañas reglas de la geometría simpléctica, donde las formas representan sistemas físicos. Por ejemplo, considere un péndulo simple. En cualquier momento dado, el estado físico del péndulo se define por dónde está y qué tan rápido va. Si traza todas las posibilidades para esos dos valores, la ubicación y la velocidad del péndulo, obtendrá una forma simpléctica que parece la superficie de un cilindro infinitamente largo.

Puede modificar formas simplécticas, pero solo de formas muy particulares. El resultado final debe reflejar el mismo sistema. Lo único que puede cambiar es cómo lo mides. Estas reglas aseguran que no te metas con la física subyacente.

Ilustración: Merrill Sherman/Revista Quanta

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