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Un matemático responde a un problema de ajedrez de hace 150 años

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Un matemático responde a un problema de ajedrez de hace 150 años

Si usted tiene algunos juegos de ajedrez en casa, pruebe el siguiente ejercicio: Coloque ocho reinas en un tablero de modo que ninguna de ellas se ataque entre sí. Si tiene éxito una vez, ¿puede encontrar un segundo arreglo? ¿Un tercio? ¿Cuántos hay?

Este desafío tiene más de 150 años. Es la versión más antigua de una pregunta matemática llamada norte-Problema de reinas cuya solución Michael Simkin, un becario postdoctoral en el Centro de Ciencias y Aplicaciones Matemáticas de la Universidad de Harvard, se centró en un artículo publicado en julio. En lugar de colocar ocho reinas en un tablero de ajedrez estándar de 8 por 8 (donde hay 92 configuraciones diferentes que funcionan), el problema pregunta cuántas formas hay de colocar norte reinas en un norte-por-norte tablero. Esto podría ser 23 reinas en un tablero de 23 por 23, o 1000 en un tablero de 1000 por 1000, o cualquier número de reinas en un tablero del tamaño correspondiente.

“Es muy fácil de explicar a cualquiera”, dijo Érika Roldán, becaria Marie Skłodowska-Curie en la Universidad Técnica de Munich y el Instituto Federal Suizo de Tecnología de Lausana.

Simkin demostró que para tableros de ajedrez enormes con un gran número de reinas, hay aproximadamente (0,143norte)norte configuraciones. Entonces, en un tablero de millón por millón, la cantidad de formas de organizar 1 millón de reinas no amenazantes es alrededor de 1 seguido de aproximadamente 5 millones de ceros.

El problema original en el tablero de ajedrez de 8 por 8 apareció por primera vez en una revista de ajedrez alemana en 1848. En 1869, el norte-El problema de la reina había seguido. Desde entonces, los matemáticos han producido una serie de resultados en norte-reinas. Aunque los investigadores anteriores han usado simulaciones por computadora para adivinar el resultado que encontró Simkin, él es el primero en probarlo.

«Básicamente, hizo esto mucho más bruscamente de lo que nadie lo había hecho anteriormente», dijo Sean Eberhard, becario postdoctoral en la Universidad de Cambridge.

Una barrera para resolver el norte-El problema de las reinas es que no hay formas obvias de simplificarlo. Incluso en un tablero relativamente pequeño, el número de posibles arreglos de reinas puede ser enorme. En una placa más grande, la cantidad de cálculo involucrado es asombrosa. En esta situación, los matemáticos a menudo esperan encontrar algún patrón o estructura subyacente que les permita dividir los cálculos en partes más pequeñas que sean más fáciles de manejar. Pero el norte-El problema de las reinas no parecía tener ninguno.

“Una de las cosas notables del problema es que, al menos sin pensarlo mucho, no parece haber ninguna estructura”, dijo Eberhard.

Esto se debe al hecho de que no todos los espacios en el tablero son iguales.

Para ver por qué, imagina de nuevo la construcción de tu propia configuración de ocho reinas. Si pones tu primera reina cerca del centro, podrá atacar cualquier espacio en su fila, en su columna o en dos de las diagonales más largas del tablero. Eso deja 27 espacios fuera de los límites para su próxima reina. Pero si coloca su primera reina a lo largo del costado del tablero, solo amenaza 21 espacios, ya que las diagonales relevantes son más cortas. En otras palabras, los cuadrados central y lateral son distintos y, como resultado, el tablero carece de una estructura simétrica que podría simplificar el problema.

Esta falta de estructura es la razón por la cual, cuando Simkin visitó al matemático Zur Luria en el Instituto Federal Suizo de Tecnología de Zurich para colaborar en el problema hace cuatro años, inicialmente abordaron el «toroidal» más simétrico. norte-Problema de reinas. En esta versión modificada, el tablero de ajedrez se «envuelve» alrededor de sí mismo en los bordes como un toro: si te caes hacia la derecha, reapareces por la izquierda.

El problema toroidal parece más simple debido a su simetría. A diferencia del tablero clásico, todas las diagonales tienen la misma longitud y cada reina puede atacar el mismo número de espacios: 27.

Simkin y Luria intentaron construir configuraciones en el tablero toroidal usando una receta de dos partes. En cada paso, colocaban una reina al azar, eligiendo cualquier espacio con la misma probabilidad siempre que estuviera disponible. Luego bloquearon todos los espacios que podría atacar. Al realizar un seguimiento de cuántas opciones tenían en cada paso, esperaban calcular un límite inferior, un mínimo absoluto para el número de configuraciones. Su estrategia se llama algoritmo codicioso aleatorio y se ha utilizado para resolver muchos otros problemas en el área de la combinatoria.

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