Uno de los Los problemas más antiguos y sencillos de la geometría han cogido a los matemáticos con la guardia baja, y no por primera vez.
Desde la antigüedad, los artistas y geómetras se han preguntado cómo las formas pueden teselar todo el plano sin espacios ni superposiciones. Y, sin embargo, "no se sabía mucho hasta hace poco tiempo", dijo Alex Iosevich, matemático de la Universidad de Rochester.
Los mosaicos más obvios se repiten: es fácil cubrir un piso con copias de cuadrados, triángulos o hexágonos. En la década de 1960, los matemáticos encontraron extraños conjuntos de mosaicos que pueden cubrir completamente el plano, pero solo en formas que nunca se repiten.
“Uno quiere entender la estructura de tales mosaicos”, dijo Rachel Greenfeld, matemática del Instituto de Estudios Avanzados en Princeton, Nueva Jersey. "¿Qué tan locos pueden volverse?"
Bastante loco, resulta.
El primer patrón no repetitivo o aperiódico de este tipo se basó en un conjunto de 20.426 mosaicos diferentes. Los matemáticos querían saber si podían reducir ese número. A mediados de la década de 1970, Roger Penrose (quien ganaría el Premio Nobel de Física 2020 por su trabajo sobre los agujeros negros) demostró que bastaba con un conjunto simple de solo dos mosaicos, denominados "cometas" y "dardos".
No es difícil encontrar patrones que no se repitan. Muchos mosaicos repetitivos o periódicos se pueden modificar para formar otros que no se repiten. Considere, digamos, una cuadrícula infinita de cuadrados, alineados como un tablero de ajedrez. Si cambia cada fila para que se compense en una cantidad distinta de la que está arriba, nunca podrá encontrar un área que se pueda cortar y pegar como un sello para volver a crear el mosaico completo.
El verdadero truco es encontrar conjuntos de mosaicos, como los de Penrose, que pueden cubrir todo el plano, pero solo de manera que no se repitan.
Los dos mosaicos de Penrose plantearon la pregunta: ¿podría haber un solo mosaico de forma inteligente que se ajuste a los requisitos?
Sorprendentemente, la respuesta resulta ser sí, si se le permite cambiar, rotar y reflejar el mosaico, y si el mosaico está desconectado, lo que significa que tiene espacios. Esos huecos se llenan con otras copias adecuadamente rotadas y adecuadamente reflejadas del mosaico, cubriendo finalmente todo el plano bidimensional. Pero si no se le permite rotar esta forma, es imposible colocar mosaicos en el plano sin dejar espacios.
De hecho, hace varios años, el matemático Siddhartha Bhattacharya demostró que, sin importar cuán complicado o sutil sea el diseño de mosaico que se le ocurra, si solo puede usar cambios o traslaciones de un solo mosaico, entonces es imposible idear un mosaico que puede cubrir todo el plano de forma aperiódica pero no periódica.
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