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Visita guiada de un matemático a través de dimensiones superiores

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Visita guiada de un matemático a través de dimensiones superiores

La noción de La dimensión al principio parece intuitiva. Mirando por la ventana, podríamos ver un cuervo sentado sobre un asta de bandera estrecho que experimenta dimensiones cero, un petirrojo en un cable telefónico limitado a uno, una paloma en el suelo libre para moverse en dos y un águila en el aire disfrutando de tres.

Pero, como veremos, encontrar una definición explícita del concepto de dimensión y ampliar sus límites ha resultado excepcionalmente difícil para los matemáticos. Han sido necesarios cientos de años de experimentos mentales y comparaciones imaginativas para llegar a nuestra actual comprensión rigurosa del concepto.

Los antiguos sabían que vivimos en tres dimensiones. Aristóteles escribió: “De magnitud, lo que (se extiende) en una dirección es una línea, lo que (se extiende) en dos direcciones es un plano, y lo que (se extiende) en tres direcciones, un cuerpo. Y no hay otra magnitud además de estas, porque las dimensiones son todo lo que hay «.

Sin embargo, los matemáticos, entre otros, han disfrutado del ejercicio mental de imaginar más dimensiones. ¿Cómo se vería una cuarta dimensión, de alguna manera perpendicular a las tres?

Un enfoque popular: supongamos que nuestro universo conocible es un plano bidimensional en un espacio tridimensional. Una bola sólida que se cierne sobre el avión es invisible para nosotros. Pero si cae y entra en contacto con el avión, aparece un punto. A medida que continúa por el avión, un disco circular crece hasta alcanzar su tamaño máximo. Luego se encoge y desaparece. Es a través de estas secciones transversales que vemos formas tridimensionales.

Un habitante de un avión vería solo las secciones transversales de objetos tridimensionales.Ilustración: Samuel Velasco / Quanta Magazine

De manera similar, en nuestro universo tridimensional familiar, si una bola de cuatro dimensiones pasara a través de él, aparecería como un punto, se convertiría en una bola sólida, eventualmente alcanzaría su radio completo, luego se encogería y desaparecería. Esto nos da una idea de la forma de cuatro dimensiones, pero hay otras formas de pensar sobre tales figuras.

Por ejemplo, intentemos visualizar el equivalente en cuatro dimensiones de un cubo, conocido como tesseract, construyéndolo. Si comenzamos con un punto, podemos barrerlo en una dirección para obtener un segmento de línea. Cuando barremos el segmento en dirección perpendicular, obtenemos un cuadrado. Arrastrar este cuadrado en una tercera dirección perpendicular produce un cubo. Asimismo, obtenemos un tesseract barriendo el cubo en una cuarta dirección.

Al pasar de las formas azules a las violetas, podemos visualizar cubos de varias dimensiones, incluido un tesseract.

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